Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知，，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

解：（I）因為，，，（1分）
代入得到，．（3分）
因為A=180°-B-C，（4分）
所以tanA=tan（180°-（B+C））
=-tan（B+C）=-1．（5分）
（II）因為0°＜A＜180°，由（I）結論可得：A=135°．（7分）
因為，
所以0°＜C＜B＜90°．（8分）
所以sinB===，sinC===，（9分）
由c=1及得：，（11分）
所以△ABC的面積S==×1××=．（13分）
分析：（Ⅰ）利用兩角和的正切函數公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根據三角形的內角和定理及誘導公式得到tanA等于-tan（B+C），進而得到tanA的值；
（Ⅱ）由（I）求出的tanA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，再由tanB和tanC的值，得到B和C的范圍及大小關系，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinB和sinC的值，由c的值，sinB和sinC的值，利用正弦定理即可求出a的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把a，c和sinB的值代入即可求出面積．
點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用正弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時注意利用tanB和tanC的值確定出B和C的范圍及大小．