Question

若變量x，y滿足

y≥1 3x+2y-11≤0 3x+y-7≥0

，則

xy

x2+y2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)分式的特點(diǎn)，利用換元法，利用直線斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：

xy

x2+y2

=

1

x y + y x

，
設(shè)z=

x

y

+

y

x

，再設(shè)k=

y

x

，則

x

y

+

y

x

=k+

1

k

，k的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則OA的斜率最小，OB的斜率最大，
由

y=1 3x+y-7=0

，解得

x=3 y=1

，即A（3，1），此時(shí)OA的斜率k=

1

3

，
由

3x+2y-11=0 3x+y-7=0

，解得

x=1 y=4

，即B（1，4），此時(shí)OB的斜率k=4，
即

1

3

≤k≤4，
則z=k+

1

k

，則在[

1

3

，1]上函數(shù)z單調(diào)遞減，則[1，4]上，單調(diào)遞增，
∴最小值為2，當(dāng)k=

1

3

，此時(shí)z=

10

3

，當(dāng)k=4時(shí)，z=4+

1

4

=

17

4

故2≤z≤

17

4

，
則

4

17

≤

1

z

≤

1

2

，即

4

17

≤

xy

x2+y2

≤

1

2

，
故答案為：[

4

17

，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，結(jié)合換元法，以及基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．