Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的中心為原點O，左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

3 5

5

，點P是直線x=

a2

3

上任意一點，點Q在雙曲線E上，且滿足

PF2

•

QF2

=0．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由離心率公式和雙曲線的a，b，c的關(guān)系，即可求得a；
（2）設(shè)出P（

5

3

，m），設(shè)Q（x₀，y₀），代入雙曲線的方程，再由

PF2

•

QF2

=0，得到方程，再由直線的斜率公式，得到直線PQ與直線OQ的斜率之積，化簡整理，運用代入，即可得到定值

4

5

．

解答： （1）解：雙曲線E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的b=2，c²=a²+4，
由于離心率為

3 5

5

，即e=

c

a

=

3 5

5

，
即有

a2+4

a2

=

9

5

，解得，a=

5

；
（2）證明：由于點P是直線x=

5

3

上任意一點，可設(shè)P（

5

3

，m），
再由Q為雙曲線

x2

5

-

y2

4

=1一點，可設(shè)Q（x₀，y₀），
則

x02

5

-

y02

4

=1，即y₀²=4（

x02

5

-1）．
由F₂（3，0），
則

PF2

•

QF2

=（

4

3

，-m）•（3-x₀，-y₀）=0，
即有4-

4

3

x₀+my₀=0，即有my₀=-4+

4

3

x₀，
則k_PQ•k_OQ=

m-y0

5 3 -x0

•

y0

x0

=

my0-y02

x0( 5 3 -x0)

=

4 3 x0-4- 4 5 x02+4

x0( 5 3 -x0)

=

4 5 x0( 5 3 -x0)

x0( 5 3 -x0)

=

4

5

．
則直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查直線的斜率公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．