Question

已知圓M：(x＋1)²＋y²＝1，圓N：(x－1)²＋y²＝9，動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|．

Answer 1

答案：
解析：

　　由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r₁＝1，圓N的圓心為N(1，0)，半徑r₂＝3．

　　設(shè)動(dòng)圓的圓心為(，)，半徑為R．

　　(Ⅰ)∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切，∴|PM|＋|PN|＝＝＝4，

　　由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為．

　　(Ⅱ)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)(，)，由于|PM|－|PN|＝≤2，∴R≤2，

　　當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2，0)時(shí)，R＝2．

　　∴當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，

　　當(dāng)的傾斜角為時(shí)，則與軸重合，可得|AB|＝．

　　當(dāng)的傾斜角不為時(shí)，由≠R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，則＝，可求得Q(－4，0)，∴設(shè)：，由于圓M相切得，解得．

　　當(dāng)＝時(shí)，將代入并整理得，解得＝，∴|AB|＝＝．

　　當(dāng)＝－時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|＝，

　　綜上，|AB|＝或|AB|＝．