【題目】如圖,已知長方形ABCD中,,
,M為DC的中點(diǎn),將
沿AM折起,使得平面
平面ABCM.
(1)求證:平面平面BMD;
(2)若點(diǎn)E是線段DB上的一動點(diǎn),問為何值時,二面角
的余弦值為
.
【答案】(1)證明見解析;(2)的值為
.
【解析】
(1)首先證明線面垂直,利用線面垂直證明面面垂直;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,列出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面法向量,根據(jù)面面角的公式以及二面角的余弦值可求出.
(1)長方形ABCD中,
,
,M為DC的中點(diǎn),
,
故,所以
,
平面
平面ABCM,平面
平面
,
平面ABCM,
平面ADM,
平面BDM,
平面
平面BMD;
(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則平面ADM的一個法向量,
設(shè),則
,
又,
,
,
,
故,
,
,
,
設(shè)平面AME的一個法向量為,
則,即
,取
,
由題意知,
故,
即,解得
,
故當(dāng)的值為
時,二面角
的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是衡量空氣污染程度的一個指標(biāo),為了了解
市空氣質(zhì)量情況,從
年每天的
值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取
天的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示.將
值劃分成區(qū)間
、
、
、
,分別稱為一級、二級、三級和四級,統(tǒng)計時用頻率估計概率 .
(1)根據(jù)年的數(shù)據(jù)估計該市在
年中空氣質(zhì)量為一級的天數(shù);
(2)如果市對環(huán)境進(jìn)行治理,經(jīng)治理后,每天
值
近似滿足正態(tài)分布
,求經(jīng)過治理后的
值的均值下降率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畫糖是一種以糖為材料在石板上進(jìn)行造型的民間藝術(shù),常見于公園與旅游景點(diǎn).某師傅制作了一種新造型糖畫,為了進(jìn)行合理定價先進(jìn)性試銷售,其單價(元)與銷量
(個)相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
(1)已知銷量與單價
具有線性相關(guān)關(guān)系,求
關(guān)于
的線性相關(guān)方程;
(2)若該新造型糖畫每個的成本為元,要使得進(jìn)入售賣時利潤最大,請利用所求的線性相關(guān)關(guān)系確定單價應(yīng)該定為多少元?(結(jié)果保留到整數(shù))
參考公式:線性回歸方程中斜率和截距最小二乘法估計計算公式:
.參考數(shù)據(jù):
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就,書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑,如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體,已知平面
,四邊形
為正方形,
,
,若鱉臑
的外接球的體積為
,則陽馬
的外接球的表面積等于______。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定:在桌面上,用母球擊打目標(biāo)球,使目標(biāo)球運(yùn)動,球的位置是指球心的位置,我們說球是指該球的球心點(diǎn)
.兩球碰撞后,目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線上運(yùn)動,目標(biāo)球的運(yùn)動方向是指目標(biāo)球被母球擊打時,母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓,且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時,目標(biāo)球就開始運(yùn)動,在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系,解決下列問題:
(1)如圖,設(shè)母球的位置為
,目標(biāo)球
的位置為
,要使目標(biāo)球
向
處運(yùn)動,求母球
球心運(yùn)動的直線方程;
(2)如圖,若母球的位置為
,目標(biāo)球
的位置為
,能否讓母球
擊打目標(biāo)
球后,使目標(biāo)
球向
處運(yùn)動?
(3)若的位置為
時,使得母球
擊打目標(biāo)球
時,目標(biāo)球
運(yùn)動方向可以碰到目標(biāo)球
,求
的最小值(只需要寫出結(jié)果即可).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),
是它們的一個公共點(diǎn),且
,橢圓的離心率為
,雙曲線的離心率為
,若
,則
的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠的,
,
三個不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測:
車間 | |||
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來自,
,
各車間產(chǎn)品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】籃球運(yùn)動于1891年起源于美國,它是由美國馬薩諸塞州斯普林菲爾德(舊譯麻省春田)市基督教青年會()訓(xùn)練學(xué)校的體育教師詹姆士·奈史密斯博士(
)發(fā)明.它是以投籃、上籃和扣籃為中心的對抗性體育運(yùn)動之一,是可以增強(qiáng)體質(zhì)的一種運(yùn)動.已知籃球的比賽中,得分規(guī)則如下:3分線外側(cè)投入可得3分,3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分,不進(jìn)得0分.經(jīng)過多次試驗(yàn),某人投籃100次,有20個是3分線外側(cè)投入,30個是3分線內(nèi)側(cè)投入,其余不能入籃,且每次投籃為相互獨(dú)立事件.
(1)求該人在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率;
(2)求該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入的概率;
(3)求該人兩次投籃后得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),
。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個數(shù);
(3)當(dāng)時,設(shè)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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