Question

設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

Answer 1

分析：先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程后代入到拋物線中消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，進(jìn)而得到兩根之積，根據(jù)BC∥x軸與點(diǎn)c在準(zhǔn)線上可求得c的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出直線CO的斜率，同時可得到k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．
得證．

解答：證明：如圖因?yàn)閽佄锞€y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），
所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程可設(shè)為x=my+

p

2

；
代入拋物線方程得y²-2pmy-p²=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是該方程的兩個根，
所以y₁y₂=-p²．
因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線x=-

p

2

上，
所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-

p

2

，y₂），
故直線CO的斜率為k=

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

．
即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

點(diǎn)評：本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．