【題目】已知橢圓經(jīng)過點
,
,過點
的直線
與橢圓
交于不同的兩點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)設(shè)直線和直線
的斜率分別為
和
,求證:
為定值.
【答案】(1);(2)
.(3)證明見詳解.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過點的坐標(biāo)滿足橢圓方程,結(jié)合已知條件,聯(lián)立方程組即可求得;
(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率
的函數(shù),根據(jù)
的取值范圍,求函數(shù)的值域即可;
(2)由(2)中所求韋達(dá)定理,將和
表示出來,整理化簡即可求證.
(1)因為橢圓經(jīng)過點,故可得
,
又因為,
聯(lián)立方程組解得,
故橢圓方程為.
(2)根據(jù)題意,直線的斜率一定存在,
故可設(shè)直線方程為,
聯(lián)立橢圓方程,
可得,
則,
解得
設(shè)坐標(biāo)為
,
故可得,
故
.
又因為,故可得
,
故可得.
即的取值范圍為
.
(3)因為
.
故為定值
.即證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚.太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相對統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓
的一個“太極函數(shù)”.現(xiàn)有下列說法:①對于圓
:
的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);②函數(shù)
是圓
:
的一個太極函數(shù);③存在圓
,使得
是圓
的一個太極函數(shù);④直線
所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓
:
(
)的太極函數(shù);⑤若函數(shù)
(
)是圓
:
的太極函數(shù),則
.其中正確的是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓
上,過點
作
軸于點
(1)求線段的中點的軌跡
的方程
(2)設(shè)、
兩點在(1)中軌跡
上,點
,兩直線
與
的斜率之積為
,且(1)中軌跡
上存在點
滿足
,當(dāng)
面積最小時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)列,定義“
變換”:
將數(shù)列
變換成數(shù)列
,其中
,且
,這種“
變換”記作
.繼續(xù)對數(shù)列
進(jìn)行“
變換”,得到數(shù)列
,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為
時變換結(jié)束.
(1)試問和
經(jīng)過不斷的“
變換”能否結(jié)束?若能,請依次寫出經(jīng)過“
變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(2)求經(jīng)過有限次“
變換”后能夠結(jié)束的充要條件;
(3)證明:一定能經(jīng)過有限次“
變換”后結(jié)束.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,,
,點F、E分別是BC、CD的中點,現(xiàn)沿AE將
折起,使點D至點M的位置,且
.
(1)證明:平面MEF;
(2)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某房地產(chǎn)公司新建小區(qū)有A、B兩種戶型住宅,其中A戶型住宅每套面積為100平方米,B戶型住宅每套面積為80平方米,該公司準(zhǔn)備從兩種戶型住宅中各拿出12套銷售給內(nèi)部員工,表是這24套住宅每平方米的銷售價格:(單位:萬元平方米):
房號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A戶型 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.8 | 2.9 | 3.2 | 2.9 | 3.1 | 3.4 | 3.3 | 3.4 | 3.5 |
B戶型 | 3.6 | 3.7 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.9 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.5 |
(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù),完成下列莖葉圖,并分別求出A,B兩類戶型住宅每平方米銷售價格的中位數(shù);
A戶型 | B戶型 | |
2. | ||
3. | ||
4. |
(2)該公司決定對上述24套住房通過抽簽方式銷售,購房者根據(jù)自己的需求只能在其中一種戶型中通過抽簽方式隨機獲取房號,每位購房者只有一次抽簽機會,小明是第一位抽簽的員工,經(jīng)測算其購買能力最多為320萬元,抽簽后所抽得住房價格在其購買能力范圍內(nèi)則確定購買,否則,將放棄此次購房資格,為了使其購房成功的概率更大,他應(yīng)該選擇哪一種戶型抽簽?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1,F2為橢圓E:的左、右焦點,且|F1F2|=2
,點
在E上.
(1)求E的方程;
(2)直線l與以E的短軸為直徑的圓相切,l與E交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,試判斷O與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
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