Question

如圖，三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

²=

AC

²=4

AB

²=4，M為棱PC的中點(diǎn)．
（I）求證：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求A點(diǎn)到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，由此能證明PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A點(diǎn)到平面PBC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

²=

AC

²=4

AB

²=4，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，
∴PA⊥平面ABC，∴AB⊥PB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，2），B（0，1，0），C（2，0，0），

PB

=(0，1，-2)，

PC

=(2，0，-2)，
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =y-2z=0 n • PC =2x-2z=0

，
取x=2，得

n

=（1，2，1），
∵

AB

=（0，1，0），
∴A點(diǎn)到平面PBC的距離d=

| AB • n |

| n |

=

|2|

6

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．