Question

已知拋物線(xiàn)y=x²和三個(gè)點(diǎn)M（x₁,y₀）、P（0，y₀）(y₀≠x²₀,y₀＞0),過(guò)點(diǎn)M的一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，AP、BP的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E、F.

（1）證明E、F、N三點(diǎn)共線(xiàn);

（2）如果A、B、N四點(diǎn)共線(xiàn)，問(wèn)：是否存在y₀，使以線(xiàn)段AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)有異于A、B的交點(diǎn)？如果存在，求出y₀的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明：設(shè)，

則直線(xiàn)的方程：

即：

因在上，所以①   

又直線(xiàn)方程：

由得：

所以     

同理，

所以直線(xiàn)的方程：   

令得

將①代入上式得，即點(diǎn)在直線(xiàn)上

所以三點(diǎn)共線(xiàn)                           

（2）解：由已知共線(xiàn)，所以 

以為直徑的圓的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圓與拋物線(xiàn)有異于的交點(diǎn)，則

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線(xiàn)有異于的交點(diǎn) 

則，所以交點(diǎn)到的距離為