Question

若關于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有根，則m的取值范圍（　　）

A．m≤-2

B．-2≤m≤0

C．m≤2

D．-2≤m≤2

Answer 1

分析：由題意可得-m=x³-3x，x∈[0，2]，利用導數判斷函數在[0，1]上增，在[1，2]上減，由此求得函數-m在
[0，2]上的值域，從而求得m的范圍．

解答：解：由題意可知方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，則函數-m=x³-3x，x∈[0，2]．
求出此函數的值域，即可得到實數m的取值范圍．
令y=x³-3x，x∈[0，2]，則 y'=3x²-3，
令y'＞0，解得x＞1，故此函數在[0，1]上增，在[1，2]上減，
又當x=1，y=-2； 當x=2，y=2； 當x=0，y=0．
∴函數y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]，
故-m∈[-2，2]，∴m∈[-2，2]，
故選 D．

點評：本題考查學生對一元三次方程的圖象的認識，以及對函數值正負與圖象關系的利用，體現了轉化的數學思想，
屬于基礎題．