Question

若x，y∈（0，2）且xy=2，使不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、a≤

  1

  2

• B、a≤2
• C、a≥2
• D、a≥

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意得到a＞0，然后把不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立轉(zhuǎn)化為（a+2）x+

a+2

x

≥5．由基本不等式得到（a+2）x+

a+2

x

≥2|a+2|，從而得到關(guān)于a的不等式，求解即可得到答案．

解答： 解：∵x，y∈（0，2），a（2x+y）≥（2-x）（4-y），∴a＞0．
a（2x+y）≥（2-x）（4-y），即2ax+ay≥8-4x-2y+xy=10-4x-2y （xy=2），
移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)：（2a+4）x+（a+2）y≥10，
將y=

2

x

代入上式得：（2a+4）x+

2(a+2)

x

≥10，即（a+2）x+

a+2

x

≥5．
由于（a+2）x+

a+2

x

≥2|a+2|，∴2|a+2|≥5恒成立，
即|a+2|≥

5

2

，
則a+2≤-

5

2

或a+2≥

5

2

，解得：a≤-

9

2

（舍）或a≥

1

2

．
∴使不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥

1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．