過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于點P，與x2+y2=a2恰好切于線段FP的中點M，則直線l的斜率為（　�。�
分析：設(shè)雙曲線的右焦點為F'，由三角形中位線定理可得|PF1|=2|OM|=2a，結(jié)合雙曲線的定義：|PF|-|PF1|=2a，算出|PF|=4a，最后在Rt△PFF'中利用三角函數(shù)的定義，算出∠PFF'的正切值，可得直線l的斜率．
解答：解：設(shè)雙曲線的右焦點為F'，
∵原點O為FF'的中點，線段FP的中點為M，
∴OM為△PFF'的中位線，可得|PF'|=2|OM|=2a，
∵由雙曲線的定義可知：|PF|-|PF'|=2a，
∴|PF|=|PF'|+2a=4a，
由OM⊥PF，可得PF'⊥PF，
∴Rt△PFF'中，tan∠PFF'=
|PF′|
|PF|
=
1
2
，即直線l的斜率為
1
2
．
故選：D
點評：本題給出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條焦半徑與圓x2+y2=a2恰好相切于它的中點，求焦半徑所在直線的斜率．著重考查了直線的斜率、雙曲線的定義與標準方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點分別為A、B．若∠AOB=120°（O是坐標原點），則雙曲線C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點P作一直線交雙曲線C漸近線于A，B兩點，且滿足
AP
=λ
PB
，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，若垂足恰好在線段OF的垂直平分線，則雙曲線C的離心率是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點F1（-2，0）、右焦點F2（2，0）分別作x軸的垂線，交雙曲線的兩漸近線于A、B、C、D四點，且四邊形ABCD的面積為16
3
．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）設(shè)P是雙曲線C上一動點，以P為圓心，PF2為半徑的圓交射線PF1于M，求點M的軌跡方程．

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