Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

an

2an

，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和

Answer 1

分析：（1）根據(jù)首項(xiàng)為2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)a₁+a₂+a₃=12，得到公差d的值，利用首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入bn=

an

2an

中得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，列舉出前n項(xiàng)的和S_n①，兩邊都除以4得到②，然后①-②后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可化簡(jiǎn)得到S_n的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由已知a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，得a₁+a₁+d+a₁+2d=12，即a₁+d=4，
則a₂=4，又a₁=2，
∴d=2，a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）知bn=

2n

4n

，設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為S_n，則S_n=

2

4

+

2×2

42

+…+

2n

4n

①，

Sn

4

=

2

16

+

2×2

43

+

2×3

44

+…+

2(n-1)

4n

+

2n

4n+1

②，
又①-②錯(cuò)位相減得：

3

4

S_n=

1

2

+

1

4

-

1

8

+

2

43

（1+

1

4

+…+

2

4n-3

）-

2n

4n+1

=

5

8

+

1

32

×

1- 1 4n-2

1- 1 4

-

2n

4n+1

=

2

3

-

3n+4

6×4n

，則S_n=

4

3

×

2

3

-

4

3

×

3n+4

6×4n

=

8

9

-

6n+8

9×4n

所以數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和Sn=

8

9

-

6n+8

9×4n

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是一道中檔題．