已知函數(shù)f(x)=alnx+
1
2
x2-(a+1)x,a>0.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)+
1
2
a2+3a的圖象與x軸有3個不同的交點,求a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)求出f(x)的導數(shù),并分解因式,注意定義域,討論a>1,a=1,0<a<1函數(shù)的單調區(qū)間即可;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)+
1
2
a2+3a,求出g(x)的導數(shù),討論當a>1時,g(1)>0且g(a)<0;當a=1時;當0<a<1時,g(a)>0且g(1)<0,不等式解的情況,即可得到a的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=
a
x
+x-(a+1)=
x2-(a+1)x+a
x
=
(x-a)(x-1)
x
(x>0),
當a>1時,f(x)在(0,1)和(a,+∞)上單調遞增,在(1,a)上單調遞減.
當a=1時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
當0<a<1時,f(x)在(0,a)和(1,+∞)上單增,在(a,1)上單減;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)+
1
2
a2+3a=alnx+
1
2
x2-(a+1)x+
1
2
a2+3a
,
則g'(x)=f'(x),
當a>1時,g(1)>0且g(a)<0,即
1
2
a2+2a-
1
2
>0
,且alna+2a<0,顯然無解;
當a=1時,g(x)在(0,+∞)上單增,顯然不滿足題意;
當0<a<1時,g(a)>0且g(1)<0,即a>
1
e2
,且-2-
5
<a<-2+
5
,
即有
1
e2
<a<
5
-2

綜上,
1
e2
<a<
5
-2
點評:本題考查導數(shù)的運用:求單調區(qū)間,考查函數(shù)與方程的轉化思想的運用,以及分類討論的思想方法,考查運算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

中華人民共和國《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次:“酒后駕車”和“醉酒駕車”,其檢測標準是駕駛人員血液中的酒精含量Q(簡稱血酒含量,單位是毫克/100毫升),當20≤Q≤80時,為酒后駕車;當Q>80時,為醉酒駕車.某 市公安局交通管理部門于2014年1月的某天晚上8點至11點設點進行一次攔查行動,共依法查出了40名飲酒后違法駕駛機動車者,如圖為這40名駕駛員抽血檢測后所得結果畫出的頻率分布直方圖(其中Q≥140的人數(shù)計入120≤Q<140人數(shù)之內.小矩形從低到高的高度依次為0.0032 0.0043 0.0050 0.0090 0.0125 0.016).
(1)求此次攔查中醉酒駕車的人數(shù);
(2)駕駛人員血液中的酒精含量Q的中位數(shù);
(3)從違法駕車的40人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取4人做樣本進行研究,再從抽取的4人中任取2人,求2人中無醉酒駕車的概率.

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已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間[1,5]上的最小值為f(5),則a的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

化簡:(log425)•log 
5
3
3

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函數(shù)y=ax在區(qū)間[1,2]上的最小值和最大值之和6,則a=
 

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冪函數(shù)f(x)=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3的定義域為R,則m+n=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是( �。�
A、y=
x
B、y=x3
C、y=2x
D、y=x-1

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