Question

已知函數(shù)f（x）=x^m-

4

x

的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0）．
（1）求m的值；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將點(diǎn)（2，0）帶入函數(shù)f（x）的解析式即可求出m=1；
（2）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，容易證明f（x）的奇偶性；
（3）求y′，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（2）=0，∴2^m-2=0，∴m=1．
（2）因?yàn)?span id="6ig6eu0" class="MathJye">f(x)=x-

4

x

，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱(chēng)區(qū)間．
又f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)；
所以f（x）是奇函數(shù)．
（3）∵f′（x）=1+

4

x2

＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)和函數(shù)解析式的關(guān)系，奇偶函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．