Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），l為過C的焦點F且傾斜角為α的直線．設l與C交于A、B兩點，A與坐標原點連線交C準線于D點．證明：BD⊥y軸．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設直線方程為x=my+

p

2

，與拋物線方程消去x，利用韋達定理可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，由A與坐標原點連線交C準線于D點，求出D的縱坐標，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：設直線方程為x=my+

p

2

，
與拋物線方程消去x，得y²-2pmy-p²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
直線OA的方程為y=

y1

x1

x，
x=-

p

2

時，y=-

y1

x1

•

p

2

=y₂，
∴B，D的縱坐標相等，
∴BD⊥y軸；
（2）解：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+

pm

2

（y₁+y₂）+

p2

4

=-

3

4

p2

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查韋達定理的運用，屬于基礎題．