Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區(qū)間和極值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（0）=1，，（2分）
f′（0）=0，所以函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；（14分）
（Ⅱ）函數的定義域為（-1，+∞），
令f'（x）=0，得，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
當a＞1時，列表：

x	（-1，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調減區(qū)間是（0，a-1），增區(qū)間是（-1，0）∪（a-1，+∞）；
極大值為f（0）=1，極小值為；（8分）
當0＜a＜1時，列表：

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調減區(qū)間是（a-1，0），增區(qū)間是（-1，a-1）∪（0，+∞）；
極大值為，極小值為f（0）=1（11分）
當a=1時，f'（x）≥0，可知函數f（x）在（-1，+∞）上單增，無極值．（13分）
分析：（Ⅰ）把x=0代入函數f（x）的解析式中求出f（0）的值，確定出切點坐標，利用求導法則求出f（x）的導函數，把x=0代入導函數中求出f′（0）的值即為切線的斜率，根據切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）先求出f（x）的定義域，然后領導函數等于0求出x的值，利用x的值分a大于1，a大于0小于1和a=1三種情況討論導函數的正負確定函數的單調性進而得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性即可得到函數的極大值和極小值．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調區(qū)間且根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．學生做第二問時注意求出函數的定義域．