Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2(n∈N*)，數(shù)列{b_n}滿足bn=2nan，
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

n+1

n

an}的前n項和為T_n，證明：n∈N^*且n≥3時Tn＞

5n

2n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用錯位相減法求和，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（1）a1=

1

2

，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1，
∴b_n=b_n-1+1，又b₁=2a₁=1，
∴{b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．
∴bn=n=2nan，∴an=

n

2n

（2）由（1）得

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
∵T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

1

2

T_n=2-

n+5

2n+1

，
∴T_n=4-

n+5

2n

，
證明n∈N^*且n≥3時，4-

n+5

2n

＞

5n

2n+1

n=3時，左邊=8，右邊=

15

7

；
設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即4-

k+5

2k

＞

5k

2k+1

．
則n=k+1時，4-

k+6

2k+1

＞

5k

2k+1

+

k+5

2k

-

k+6

2k+1

＞

5(k+1)

2k+3

∴n=k+1時，結(jié)論成立
綜上，n∈N^*且n≥3時Tn＞

5n

2n+1

．

點評：本題綜合考查了“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本方法，正確求通項與數(shù)列的和是關(guān)鍵．