Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）要使函數(shù)有意義，需4^x-1≠0，解此不等式得x≠0，∴函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-1）=-f（1），即-a=-+a，即a=-，經(jīng)檢驗，a=-時，f（x）為奇函數(shù)
∴a=-，
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=-===
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴＞1，＞1，＞1
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
分析：（1）求函數(shù)的定義域即求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，本題中只需分母不為零即可，解不等式即可
（2）已知函數(shù)為奇函數(shù)，可利用特殊值代入的方法，列方程求出參數(shù)值，再檢驗一下充分性即可設(shè)
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通過證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可證明函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，關(guān)鍵是將f（x₁）-f（x₂）進行變形，以利于判斷符號，一般變形為因式乘積形式
點評：本題考察了函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及證明，要有一定的運算和變形能力