已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R),F(xiàn)(x)=
f(x),x≥0
-f(-x),x<0

(1)若f(x)的最小值為f(-1)=0,且f(0)=1,求F(-1)+f(2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1對x∈[0,1]恒成立,求b的取值范圍;
(3)若a=1,b=-2,c=0,且y=F(x)與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-2,t]上恰有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)直接由f(0)=1求出c的值,結(jié)合f(x)的最小值為f(-1)=0,可知對稱軸為x=-1,由此聯(lián)立方程組求得a,b的值,則F(x)可求,進(jìn)一步求得F(-1)+f(2)的值;
(2)把a(bǔ)=1,c=0代入f(x),|f(x)|≤1轉(zhuǎn)化為-1≤x2+bx≤1對x∈[0,1]恒成立,然后分x=0和x∈(0,1]求解b的取值范圍;
(3)由題意知t>-2,然后對t分類借助于二次函數(shù)根的范圍求解實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答: 解:(1)由f(0)=1,得c=1,再由f(-1)=0,得-
b
2a
=-1,a-b+1=0
,
∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,
F(x)=
(x+1)2,x≥0
-(x-1)2,x<0
,
則F(2)+F(-1)=5;
(2)∵a=1,c=0,
∴f(x)=x2+bx,
∵|f(x)|≤1對x∈[0,1]恒成立,
∴-1≤x2+bx≤1對x∈[0,1]恒成立,
當(dāng)x=0時,f(0)=0,
∴b∈R;
當(dāng)x∈(0,1]時,-1≤x2+bx≤1對x∈(0,1]恒成立等價于
b≤
1
x
-x
b≥-(x+
1
x
)
恒成立,
∴b∈[-2,0],
綜上,b的取值范圍是[-2,0];
(3)由題意知,t>-2,F(x)=
x2-2x,x≥0
-x2-2x,x<0
,
當(dāng)t=0時,不合題意;
當(dāng)t<0時,由F(x)=-t在[-2,t]上恰有一解,
即x2+2x-t=0在[-2,t]上恰有一解,
令g(x)=x2+2x-t,得g(-2)•g(t)≤0,
∵g(-2)=-t>0,∴g(t)=t2+t≤0,解得-1≤t<0,
當(dāng)t>1時,不合題意,
當(dāng)0<t≤1時,由F(x)=-t在[-2,t]上恰有一解,
即x2-2x+t=0在[-2,t]上恰有一解,
令g(x)=x2-2x+t,得g(-2)•g(t)≤0,
∵g(-2)=8+t>0,∴g(t)=-t2+t≤0,解得0<t≤1.
綜上,t的取值范圍是[-1,0)∪(0,1].
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)恒成立問題,考查了函數(shù)解析式的求法,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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在△ABC中,b=2,c=
3
,△ABC的面積為
3
2
,則角A=
 
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一只口袋中有形狀大小都相同的小球,其中白球1個,紅球2個,黃球1個,現(xiàn)從中隨機(jī)摸出2個小球,試求:
(1)兩個都是紅球的概率;
(2)至少一個是紅球的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x+
1
x-3
(x>3),則f(x)的最小值為(  )
A、3B、4C、5D、6

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已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式.

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(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x,求f(x);
(2)若f(x)滿足關(guān)系式f(x)+2f(
1
x
)=3x,求f(x)的解析式;
(3)f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=2,則2x+4y的最小值為
 

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設(shè)變量x,y滿足約束條件
2x-y-2≤0
x-2y+2≥0
x+y-1≥0
,則s=
y-x
x+1
的取值范圍是( �。�
A、[0,
1
2
]
B、[-
1
2
,0]
C、[-
1
2
,1]
D、[0,1]
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