Question

已知函數(shù)（其中）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對是否在定義域內(nèi)以及在定義域內(nèi)與進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理對端點(diǎn)值或極值的正負(fù)進(jìn)行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043451111588.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
①當(dāng)，即時，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)，即時，
令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
③當(dāng)，即時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）①當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，
由于，
要使在上有且只有一個零點(diǎn)，
需滿足或，解得或，
所以當(dāng)或時，在上有且只有一個零點(diǎn)；
②當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，，
所以當(dāng)時，在上有且只有一個零點(diǎn)；
③當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043452141690.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時，總有，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043452203750.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043450955495.png" style="vertical-align:middle;" />在內(nèi)單調(diào)遞增，
從而當(dāng)時，在上有且只有一個零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)或或時，在上有且只有一個零點(diǎn).