【題目】已知中,
,
,
,
,
分別是
,
的中點(diǎn),將
沿
翻折,得到如圖所示的四棱錐
,且
,設(shè)
為
的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)求直線與平面
所成角的的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取的中點(diǎn)
,連接
,
,得到四邊形
是平行四邊形,得出
,
,從而
,
,證得
平面
,
平面
,進(jìn)而利用線面垂直的判定定理,證得
平面
,即可得到
.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸,
為
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,求得向量
和平面
的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)取的中點(diǎn)
,連接
,
,可得
,且
,
所以四邊形是平行四邊形,所以
,
因?yàn)?/span>,
分別是
,
的中點(diǎn),所以
,
因?yàn)?/span>,所以
,
,
又因?yàn)?/span>,且
,
平面
,
所以平面
,所以
平面
,
因?yàn)?/span>平面
,所以
,
因?yàn)?/span>分別為
的中點(diǎn),故
,
所以,又
,
,所以
.
又因?yàn)?/span>,又
,
平面
,所以
平面
,
又由平面
,所以
.
(2)由(1)知:平面
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸,
為
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
因?yàn)?/span>,可得
,
在中,
,
,
,
可得,所以
,
,
所以點(diǎn)到
軸的距離為1,
可得,
,
,
,
則,
,
,
設(shè)平面的法向量為
,
所以,解得
,令
,可得
,
設(shè)直線與平面
所成的角為
.
則,
即直線與平面
所成的角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:
;
(2)是否存在不相等的正實(shí)數(shù)m,n滿足,且
?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天然氣已經(jīng)進(jìn)入了千家萬戶,某市政府為了對(duì)天然氣的使用進(jìn)行科學(xué)管理,節(jié)約氣資源,計(jì)劃確定一個(gè)家庭年用量的標(biāo)準(zhǔn).為此,對(duì)全市家庭日常用氣的情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,獲得了部分家庭某年的用氣量(單位:立方米).將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成下面的頻率分布直方圖(如圖所示).由于操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的.若以各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值,則估計(jì)全市家庭年均用氣量約為( )
A.6.5立方米B.5立方米C.4.5立方米D.2.5立方米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列命題:
①函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
②若函數(shù)在
上有兩個(gè)零點(diǎn),則
的取值范圍是
;
③當(dāng)時(shí),函數(shù)
的最大值為0;
④函數(shù)在
上單調(diào)遞減;
上述命題正確的是_________(填序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過的包裹收費(fèi)
元;重量超過
的包裹,在收費(fèi)
元的基礎(chǔ)上,每超過
(不足
,按
計(jì)算)需再收
元.該快遞公司承攬了一個(gè)工藝品廠家的全部玻璃工藝品包裹的郵寄事宜,該廠家隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了
件這種包裹的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)表如下:
表
包裹重量 | |||||
包裹數(shù) | |||||
損壞件數(shù) |
表
包裹重量 | |||||
出廠價(jià)(元 | |||||
賣價(jià)(元 |
估計(jì)該快遞公司對(duì)每件包裹收取快遞費(fèi)的平均值;
將包裹重量落入各組的頻率視為概率,該工藝品廠家承擔(dān)全部運(yùn)費(fèi),每個(gè)包裹只有一件產(chǎn)品,如果客戶收到有損壞品的包裹,該快遞公司每件按其出廠價(jià)的
賠償給廠家.現(xiàn)該廠準(zhǔn)備給客戶郵寄重量在區(qū)間
和
內(nèi)的工藝品各
件,求該廠家這兩件工藝品獲得利潤(rùn)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,,
,O為線段CD的中點(diǎn),將
沿BO折到
的位置,使得
,E為
的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求直線AE與平面所成角的正弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)棱
垂直于底面
,
,
,
為
的中點(diǎn),
平行于
,
平行于面
,
.
(1)求的長(zhǎng);
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為
,且成績(jī)分布在
,分?jǐn)?shù)在
以上(含
)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取
人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過
的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
獲獎(jiǎng) | |||
不獲獎(jiǎng) | |||
總計(jì) | |||
附表及公式:
其中,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
的左頂點(diǎn)為
,右焦點(diǎn)為
,
,
為橢圓
上兩點(diǎn),圓
.
(1)若軸,且滿足直線
與圓
相切,求圓
的方程;
(2)若圓的半徑為2,點(diǎn)
,
滿足
,求直線
被圓
截得弦長(zhǎng)的最大值.
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