Question

已知函數：f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為

y＝3x＋1

(1)y＝f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；

(2)函數y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c

求導數得f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

過y＝f(x)上點P(1，f(1))的切線方程為：

y－f(1)＝f′(1)(x－1)，

即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)

而過y＝f(x)上P(1，f(1))的切線方程為：y＝3x＋1

∴　即

∵y＝f(x)在x＝－2時有極值，故f′(－2)＝0

∴－4a＋b＝－12③

由①②③相聯立解得a＝2，b＝－4，c＝5

f(x)＝x³＋2x²－4x＋5

(2)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調遞增

又f′(x)＝3x²＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0

∴f′(x)＝3x²－bx＋b

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立

①在x＝≥1時，f′(x)_小＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6

②在x＝≤－2時，f′(x)_小＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，

∴b∈Ø

③在－2≤≤1時，f′(x)_小＝≥0，則0≤b≤6.

綜上所述討論可知，所求參數b取值范圍是：b≥0