Question

數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿足a1+

1

2

a2=4，

a

2 3

=

1

4

a2a6；設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足

bn+1

2

=

Sn

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=a_nb_n，求數(shù)列{C_n}的前項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由

a

2 3

=

1

4

a2a6，得

a

2 3

=

1

4

a

2 4

，可解得q²=4．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由

bn+1

2

=

Sn

，得：Sn=

(bn+1)2

4

．當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

(bn+1)2

4

-

(bn-1+1)2

4

，得出數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差d=2，由此能求出數(shù)列{C_n}的前項(xiàng)的和T_n．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由

a

2 3

=

1

4

a2a6，得

a

2 3

=

1

4

a

2 4

，
所以q²=4．
由條件知q＞0，故q=2．
由a1+

1

2

a2=4，得a1+

1

2

a1q=4，所以a₁=2．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=2n．
（2）又由

bn+1

2

=

Sn

，
得：Sn=

(bn+1)2

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

(bn+1)2

4

-

(bn-1+1)2

4

，
∴4b_n=（b_n+1）²-（b_n-1+1）²
整理，得（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∵正項(xiàng)數(shù)列{b_n}，∴b_n-b_n-1=2，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差d=2，
又

b

1

=S1=

(b1+1)2

4

，∴

b

1

=1，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
由c_n=a_nb_n，得Cn=(2n-1)×2n，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（2×1-1）2¹+（2×2-1）2²+…+（2n-1）2ⁿ，①
2Tn=(2×1-1)×22+(2×2-1)×23+…+(2n-1)×2n+1②
①-②，得：
-Tn=2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1+2

=2 2(2n-1-1) 2-1 -(2n-1)×2n+1+2 =2n+1-4-(2n-1)×2n+1+2 =-2(n-1)×2n+1-2.

∴Tn=2(n-1)×2n+1+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．