Question

  已知曲線y=x³+.

(1)求曲線在x=2處的切線方程；

（2）求曲線過點（2，4）的切線方程.

Answer 1

（1）4x-y-4=0（2）切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0

解析:

  （1）∵y′=x²,

∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=y′|_x=2=4.                                               3分

∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0.                                                                                                            6分

（2）設(shè)曲線y=x³+與過點P（2，4）的切線相切于點

A(x₀，x₀³+)，則切線的斜率

k=y′|=x₀².                                                                                                              8分

∴切線方程為y-(x₀³+)=x₀²(x-x₀),

即y=x₀²·x-x₀³+.                                                                                         10分

∵點P（2，4）在切線上，∴4=2x₀²-x₀³+,

即x₀³-3x₀²+4=0,∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0,

∴x₀² (x₀+1)-4(x₀+1)(x₀-1)=0,

∴(x₀+1)(x₀-2)²=0,解得x₀=-1或x₀=2,

故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.                                                 14分