Question

（2009•金山區(qū)一模）下列說法錯誤的是（　�。�

• A．若z∈C，則|z|=1的充要條件是

  .

  z

  =

  1

  z

• B．若z=sinθ+icosθ（其中0＜θ＜

  π

  2

  ），則（

  1-z

  1+z

  ）²＜0
• C．若方程x²+bx+c=0的系數(shù)不都是實數(shù)，則此方程必有虛數(shù)根
• D．復(fù)數(shù)（a-b）+（a+b）i為純虛數(shù)的充要條件是a、b∈R，且a=b

Answer 1

分析：對各個選項逐個加以判斷：根據(jù)復(fù)數(shù)性質(zhì)z•

.

z

=|z| 2，說明A選項不錯；根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則進行推導(dǎo)，可由z=sinθ+
icosθ（其中0＜θ＜

π

2

），推出（

1-z

1+z

）²＜0，說明B選項不錯；根據(jù)復(fù)系數(shù)一元二次方程必定有虛數(shù)根據(jù)的定理，可知C選項也不錯．A、B、C都不錯，很容易就有找出D選項的反例，因此不難選出正確答案了．

解答：解：對于A：根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛的性質(zhì)z•

.

z

=|z| 2，得到|z|=1⇒z•

.

z

=1⇒

.

z

=

1

z

，故A正確；
對于B，因為z=sinθ+icosθ，所以

1-z

1+z

=

1-sinθ-icosθ

1+sinθ+icosθ

=

-icosθ

1+sinθ

得出：（

1-z

1+z

）²=(

-icosθ

1+sinθ

)  2=

-cos 2θ

(1+sinθ)2

∵0＜θ＜

π

2

，∴cosθ∈（0，1）；∴（

1-z

1+z

）²＜0，故B正確；
對于C：若方程x²+bx+c=0的系數(shù)不都是實數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的含義，不管哪一項系數(shù)為虛數(shù)，必定要有虛數(shù)根與這個系數(shù)相乘，才能使結(jié)果為零而不含虛數(shù)單位i，所以方程必定有虛數(shù)根即方程的兩個根不可能都是實數(shù)，C也正確；
對于D：復(fù)數(shù)（a-b）+（a+b）i為純虛數(shù)的充要條件是a、b∈R，且a=b，很明顯是錯誤的，因為當a=b=0時，復(fù)數(shù)（a-b）+（a+b）i不是虛數(shù)，故D選項是錯誤的
故選D

點評：本題以復(fù)數(shù)為例，考查了充分條件與必要條件的判斷，屬于中檔題．熟記復(fù)數(shù)的運算法則與運算性質(zhì)，是解決好本題的關(guān)鍵所在．