Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f（x）在x=1處取得極值，且f（x）的導函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）若對于任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值；
（2）若過點M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：本題（1）可以求出f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值，再利用|f（x₁）-f（x₂）|≤c，得到本題結論；（2）從切點出發(fā)，利用函數(shù)式求出切點坐標，利用導函數(shù)求出切線的斜率，用點斜式得到切線方程，將點M（2，m）代入方程，得到相應關系式，轉化得方程有三個根，即相應函數(shù)與x軸有三個不同公共點，利用導函數(shù)研究函數(shù)圖象特征，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx-3=0，
由f′（x）是偶函數(shù)得b=0．
又f′（1）=0，
∴a=1．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，
解得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2		極大值		極小值		2

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴當x∈[-2，2]時，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=-2．
則對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=4，
∴c≥4．
∴c的最小值為4．
（2）∵點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
∴設切點為（x₀，y₀）．
則y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，
∴切線的斜率為3x02-3．
則3x02-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x03-6x02+6+m=0．
因為過點點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程即2x03-6x02+6+m=0有三個不同的實數(shù)解．
即函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點．
則g′（x）=6x²-12x．
令g′（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

 即

6+m＞0 -2+m＜0

，
解得-6＜m＜2．

點評：本題考查了導數(shù)與單調性、最值的關系，本題思維難度大，計算量大，屬于難題．