【題目】如圖,在四面體中,
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若,二面角
為
,求異面直線
與
所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn)
連接
,得
,可得
,
可證,可得
,進(jìn)而
平面
,即可證明結(jié)論;
(2)設(shè)分別為邊
的中點(diǎn),連
,可得
,
,可得
(或補(bǔ)角)是異面直線
與
所成的角,
,可得
,
為二面角
的平面角,即
,設(shè)
,求解
,即可得出結(jié)論.
(1)證明:取中點(diǎn)
連接
,
由則
,則
,
故,
,
平面
,又
平面
,
故平面平面
(2)解法一:設(shè)分別為邊
的中點(diǎn),
則,
(或補(bǔ)角)是異面直線
與
所成的角.
設(shè)為邊
的中點(diǎn),則
,
由知
.
又由(1)有平面
,
平面
,
所以為二面角
的平面角,
,
設(shè)則
在中,
從而
在中,
,
又,
從而在中,因
,
,
因此,異面直線與
所成角的余弦值為
.
解法二:過點(diǎn)作
交
于點(diǎn)
由(1)易知兩兩垂直,
以為原點(diǎn),射線
分別為
軸,
軸,
軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系
.
不妨設(shè),由
,
易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
則
顯然向量是平面
的法向量
已知二面角為
,
設(shè),則
設(shè)平面的法向量為
,
則
令,則
由
由上式整理得,
解之得(舍)或
,
因此,異面直線與
所成角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球
的球面上,
是面積為
的等邊三角形,
,
,且平面
平面
.
(1)確定的位置(需要說明理由),并證明:平面
平面
.
(2)與側(cè)面平行的平面
與棱
,
,
分別交于
,
,
,求四面體
的體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園劃船收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表:
某班16名同學(xué)一起去該公園劃船,若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí),每只租船必須坐滿,租船最低總費(fèi)用為______元,租船的總費(fèi)用共有_____種可能.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的某天上網(wǎng)的時(shí)間,隨機(jī)對名男生和
名女生進(jìn)行了不記名的問卷調(diào)查.得到了如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果:
表1:男生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | |||||
人數(shù) |
表2:女生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | |||||
人數(shù) |
(1)用分層抽樣在選取
人,再隨機(jī)抽取
人,求抽取的
人都是女生的概率;
(2)完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有
的把握認(rèn)為“大學(xué)生上網(wǎng)時(shí)間與性別有關(guān)”?
上網(wǎng)時(shí)間少于 | 上網(wǎng)時(shí)間不少于 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記表示
,
中的最大值,如
.已知函數(shù)
,
.
(1)設(shè),求函數(shù)
在
上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得
對
恒成立?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的的參數(shù)方程為
(其中
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
,直線
經(jīng)過點(diǎn)
.曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)作直線
的垂線交曲線
于
兩點(diǎn)(
在
軸上方),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元五世紀(jì),數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是:3.1415926<
<3.1415927,為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就,把3.1415926稱為“祖率”,這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”,讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨機(jī)排列,整數(shù)部分3不變,那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字有( )
A.2280B.2120C.1440D.720
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,平面
平面
,
.
(1)證明:平面
;
(2)設(shè)點(diǎn)在線段
上運(yùn)動,平面
與平面
所成銳二面角為
,求
的取值范圍.
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