Question

某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求AB至少長(zhǎng)2.8米，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的價(jià)格為每米100元．
（1）設(shè)BC=x米，CD=y米，試用x表示y；
（2）問怎樣設(shè)計(jì)AB，CD的長(zhǎng)，可使建造這個(gè)支架的成本最低，并求最低成本是多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）△BCD中，BC=x，CD=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的關(guān)系式；
（2）由造價(jià)函數(shù)：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），不妨設(shè)t=x-1，那么t≥0.4，化簡(jiǎn)W為t的函數(shù)容易求出結(jié)果．

解答： 解：（1）如圖，由余弦定理得：（y-0.5）²=x²+y²-2xycos60°，
∴y=

x2-0.25

x-1

（其中x≥1.4）；
（2）設(shè)支架的造價(jià)為：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），
設(shè)t=x-1，那么t≥0.4，∴W=100（3t+

3

4t

+4）≥700，
當(dāng)且僅當(dāng)t=0.5＞0.4，x=1.5，y=4時(shí)，這時(shí)造價(jià)W的值也最小，且有AB=3米，CD=4米．

點(diǎn)評(píng)：本題借助三角形的余弦定理建立函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值問題，是中檔題．