如圖,在正方體中,E、F分別是BB1的中點(diǎn).
(1)證明;
(2)求與
所成的角;
(3)證明:面面
解: (1)證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則由條件可得
D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0),A1(2a,0,2a)
=(-2a,0,0),
=(0, a, -2a),
∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,
∴,即
�! �
(2)解:∵,
=(0, a, -2a),
∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0
∴cos<,
>=
,
即,
的夾角為90°,所以直線(xiàn)AE與D1F所成的角為直角。
(3)證明:由(1)、(2)知D1F⊥AD,D1F⊥AE, 而AD∩AE=A,
∴D1F⊥平面AED,
∵D1F平面A1FD1,
∴平面AED⊥平面A1FD1.
方法2(綜合法)
(1)證明:因?yàn)锳C1是正方體,所以AD⊥面DC1。
又DF1DC1,所以AD⊥D1F.
(2)取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,F(xiàn)G,
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF∥AD,
又A1D1∥AD,所以GF∥A1D1,
故四邊形GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F。
設(shè)A1G與AE相交于H,則∠A1HA是AE與D1F所成的角。
因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,從而∠A1HA=90°,
即直線(xiàn)AE與D1F所成的角為直角�! �
(3)與上面解法相同。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年北京市東城區(qū)示范校高三第二學(xué)期綜合練習(xí)數(shù)學(xué)理卷 題型:填空題
如圖,在正方體中,E,F,G,H,M分別是棱
,
,
的中點(diǎn),點(diǎn)N在四邊形EFGH的四邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則當(dāng)N只需滿(mǎn)足條件________時(shí),就有
;當(dāng)N只需滿(mǎn)足條件________時(shí),就有MN∥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆遼寧省高一上學(xué)期12月月考考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,在正方體中,E、F分別是中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:;
(III)棱上是否存在點(diǎn)P使
,若存在,確定點(diǎn)P位置;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆河北省邯鄲市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(滿(mǎn)分12分)
如圖,在正方體中,E、F、G分別為
、
、
的中點(diǎn),O為
與
的交點(diǎn),
(1)證明:面
(2)求直線(xiàn)與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:河北省2009-2010學(xué)年度第二學(xué)期二調(diào)考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷理科 題型:選擇題
如圖,在正方體中,E、F、G、H分別為中點(diǎn),則異面直線(xiàn)EF與GH所成的角等于( )
A.
B.
C.
D.
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