已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,過點(diǎn)P(2,-1)作圓C的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).

(1)求切線PA、PB所在直線的方程;

(2)求切線長|PA|;

(3)求∠APB的正弦值;

(4)求AB的方程.

解:(1)如下圖,設(shè)過P點(diǎn)的切線方程為l:y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.

∵l與圓C相切,

∴d=r,

即.

∴k2-6k-7=0.

∴k=7或k=-1.

∴所求切線方程為y+1=7(x-2)或y+1=-(x-2),即7x-y-15=0或x+y-1=0.

(2)連結(jié)CA、PC,

在Rt△PAC中,|PC|=,|AC|=r=,

∴|PA|=2.

(3)在Rt△PCA中,設(shè)∠APC=θ,

∴sinθ=,cosθ=,sin2θ=2sinθ·cosθ=2×,即sin∠APB=.

(4)易得以PC為直徑的圓的方程為(x-)2+(y-)2=.

將其與已知圓(x-1)2+(y-2)2=2聯(lián)立,相減可得出公共弦AB所在直線的方程:4x-12y+27=0.


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