在平面直角坐標系中,點與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由。

 

【答案】

(Ⅰ) ; (Ⅱ)存在,點的坐標為

【解析】

試題分析:(I)解:因為點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,所以點B的坐標為(1,-1)

設(shè)點P的坐標為(x,y)

由題意得

化簡得

故動點P的軌跡方程為

(Ⅱ)解法一:設(shè)點P的坐標為,點的坐標分別為

則直線的方程式為,直線的方程式為

            6分

于是的面積 

             7分

又直線AB的方程為

點P到直線AB的距離                8分

于是的面積            9分

時,得          10分

,所以,解得         12分

因為,所以。              13分

故存在點使得的面積相等,此時點的坐標為          14分

考點:軌跡方程是求法;直線與雙曲線的綜合應(yīng)用。

點評:求軌跡方程的基本步驟:①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�,設(shè)P(x,y)是軌跡上的任意一點;

②尋找動點P(x,y)所滿足的條件;③用坐標(x,y)表示條件,列出方程f(x,y)=0;④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式;⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程,注意驗證。

 

練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

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在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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在平面直角坐標系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是( �。�

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在平面直角坐標系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

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