Question

在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù)）．

（1）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)上的點(diǎn)與曲線(xiàn)上的點(diǎn)的最小距離．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或，（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）曲線(xiàn)M可化為，，

曲線(xiàn)N可化為，

若曲線(xiàn)M，N只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則當(dāng)直線(xiàn)N過(guò)點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足要求，此時(shí)，

并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)直線(xiàn)N過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，所以滿(mǎn)足要求；

再接著從過(guò)點(diǎn)開(kāi)始向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總有兩個(gè)公共點(diǎn)，

相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立 得，

，求得，

綜上可求得t的取值范圍是或．         （5分）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)N：，設(shè)M上的點(diǎn)為，

則曲線(xiàn)M上的點(diǎn)到直線(xiàn)N的距離為，

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足，所以所求的最小距離為．    （10分）

考點(diǎn)：本題考查了極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角方程的互化，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：近幾年的高考試題對(duì)選修4-4的考查都是以極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程混合命題，而且通常與直線(xiàn)和圓（圓錐曲線(xiàn)）聯(lián)系．