Question

如圖①，E，F(xiàn)分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點(diǎn)，∠B=90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A₁﹣EF﹣B，若M為線段A₁C中點(diǎn)．求證：
（1）直線FM∥平面A₁EB；
（2）平面A₁FC⊥平面A₁BC．

Answer 1

證明：（1）取A₁B中點(diǎn)N，連接NE，NM，
則MN，EF，所以MNFE，
所以四邊形MNEF為平行四邊形，所以FM∥EN，
又因?yàn)镕M平面A₁EB，EN平面A1EB，
所以直線FM∥平面A₁EB．
（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別AB和AC的中點(diǎn)，
所以A₁F=FC，所以FM⊥A₁C
同理，EN⊥A₁B，
由（1）知，F(xiàn)M∥EN，所以FM⊥A₁B
又因?yàn)锳₁C∩A₁B=A₁，所以FM?⊥平面A₁BC，
又因?yàn)镕M平面A₁FC
所以平面A₁FC⊥平面A₁BC．