Question

已知f（x）=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀處取得最大值，以下各式正確的序號為（　　）
①x₀＜1；
②x₀＞1；
③f（x₀）＜x₀；
④f（x₀）=x₀；
⑤f（x₀）＞x₀．

• A、①③
• B、①④
• C、②④
• D、②⑤

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，令g（x）=x+1+lnx，將g（x）=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點個數處理，得g（x）=lnx+x+1的零點只有一個，即為題中的x₀，由此能求出結果．

解答： 解：∵f（x）=

lnx

1+x

-lnx，
∴f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=

1+x-xlnx

x(1+x)2

-

x2+2x+1

x(1+x)2

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，
令g（x）=x+1+lnx，
將g（x）=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點個數處理，
∴g（x）=lnx+x+1的零點只有一個，
即為題中的x₀，且x₀＞1．故①錯誤，②正確；
∵g（x）=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點，
∴-x₀-1=lnx₀，
∴f（x₀）=

-x0lnx0

1+x0

=x₀，故④正確，③⑤均錯誤．
故選：C．

點評：本題考查真假命題的判斷，是中檔題，解題時要注意導數性質和函數零點性質的合理運用．