Question

設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，=0，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積．

（1）求概率P（=0）；

（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E ()．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】

試題分析：（1）求概率P（= 0），就是求四點(diǎn)共面時(shí)概率.古典概型概率的求法，關(guān)鍵要找出所包含的基本事件個(gè)數(shù)，然后套用公式

（2）求的數(shù)學(xué)期望的基本步驟：首先理解的意義，寫出可能取的全部值，本題考慮四個(gè)頂點(diǎn)不同位置，求體積；其次求取各個(gè)值的概率，寫出概率分布；最后根據(jù)概率分布，由數(shù)學(xué)期望的定義求出

試題解析：（1）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn),共有種不同取法.

其中共面的情況共有12種(6個(gè)側(cè)面,6個(gè)對(duì)角面).

則 3分

（2）任取四個(gè)點(diǎn),當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí),四面體的體積只有以下兩種情況:

①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上,體積為

這樣的取法共有2種. 5分

②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上,另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上,體積為

這樣的取法共有種 7分

的分布列為

8分

數(shù)學(xué)期望 10分

考點(diǎn)：概率，數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的概率分布列.