Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)．
（I）若b=a-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若-1≤a≤1，-1≤b≤1，求方程f'（x）=0有實數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（I）求導數(shù)，令導數(shù)小于零，解此不等式即可求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）此小題是一個幾何概率模型，如設(shè)方程f'（x）=0有實根為事件B．先求出區(qū)域D={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}的面積，再求出方程有實根對應(yīng)區(qū)域為d與區(qū)域D的公共部分的面積，再有公式P(B)=

Sd

SD

求出概率．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx，b=a-1得：
f'（x）=x²+ax+b=x²+ax+a-1=（x+1）（x+a-1）…（2分）
令f'（x）=0得x₁=-1；x₂=1-a…（3分）
①若-1＜1-a，即a＜2時，令 f'（x）＜0解得-1＜x＜1-a
此時函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-1，1-a）…（5分）
②若-1＞1-a，即a＞2時，令 f'（x）＜0解得1-a＜x＜-1，此時函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（1-a，-1）…（7分）
③若-1=1-a，即a=2時，f'（x）=（x+1）²≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，沒有減區(qū)間…（8分）
（II）方程f'（x）=0，即x²+ax+b=0有實數(shù)根，則△≥0，即a²≥4b，…（10分）
若-1≤a≤1，-1≤b≤1，
方程f'（x）=0有實數(shù)根的條件是

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

（※）…（11分）
滿足不等式組的區(qū)域如圖所示，條件（※）對應(yīng)的圖形區(qū)域的面積為：
S1=

∫

-1 1

[

a2

4

-(-1)]da=

∫

-1 1

(

a2

4

+1)da=(

a3

12

+a)

|

1 -1

=

13

6

…（13分）
而條件-1≤a≤1，-1≤b≤1的對應(yīng)的面積為S=4，
所以，方程f'（x）=0有實數(shù)根的概率為P=

S1

S

=

13

24

…（14分）

點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等可能事件的概率，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合思想．