精英家教網(wǎng)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
2
=1
焦點(diǎn)在x軸上,左、右頂點(diǎn)分別為A1、A,上頂點(diǎn)為B,拋物線C1、C2分別以A、B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O.C1與C2相交于直線y=
2
x
上一點(diǎn)P.
(Ⅰ)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N,已知點(diǎn)Q(-
2
,0),求
QM
.
QN
的最小值.
分析:(Ⅰ)由題意知,A(a,0),B(0,
2
)
,故拋物線C1的方程可設(shè)為y2=4ax,C2的方程為x2=4
2
y
.由此能求出橢圓C:
x2
16
+
y2
2
=1
,拋物線C1:y2=16x,拋物線C2x2=4
2
y

(Ⅱ)由直線OP的斜率為
2
,知直線l的斜率為-
2
2
,設(shè)直線l方程為y=-
2
2
x+b
,由
x2
16
+
y2
2
=1
y=-
2
2
x+b
消去y,整理得5x2-8
2
bx+(8b2-16)=0
,再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,A(a,0),B(0,
2
)
故拋物線C1的方程可設(shè)為y2=4ax,C2的方程為x2=4
2
y

y2=4ax
x2=4
2
y
y=
2
x
,得a=4,P(8,8
2
)

所以橢圓C:
x2
16
+
y2
2
=1
,拋物線C1y2=16x:,拋物線C2x2=4
2
y

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直線OP的斜率為
2
,所以直線l的斜率為-
2
2

設(shè)直線l方程為y=-
2
2
x+b

x2
16
+
y2
2
=1
y=-
2
2
x+b
消去y,整理得5x2-8
2
bx+(8b2-16)=0

因?yàn)橹本l與橢圓C交于不同兩點(diǎn),所以△=128b2-20(8b2-16)>0,
解得-
10
<b<
10

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
8
2
b
5
,x1x2=
8b2-16
5
y1y2=(-
2
2
x1+b)•(-
2
2
x2+b)=
1
2
x1x2-
2
b
2
(x1+x2)+b2=
b2-8
5

因?yàn)?span id="o7hhf5t" class="MathJye">
QM
=(x1+
2
,y1),
QN
=(x2+
2
,y2)

所以
QM
QN
=(x1+
2
,y1)•(x2+
2
,y2)=x1x2+
2
(x1+x2)+y1y2+2
=
9b2+16b-14
5

因?yàn)?span id="qmm575a" class="MathJye">-
10
<b<
10
,所以當(dāng)b=-
8
9
時(shí),
QM
QN
取得最小值,
其最小值等于
(-
8
9
)
2
+16×(-
8
9
)-14
5
=-
38
9
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•閘北區(qū)二模)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn),證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值;
(Ⅱ)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅲ)若直線l:y=kx+m與(Ⅱ)中所述橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
的左右頂點(diǎn)分別為A、B,左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動(dòng)點(diǎn),直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E.
(1)證明:
AP
BP
為定值K;
(2)當(dāng)K=-2時(shí),問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形DMEN的面積最小,若存在,求出最小值和P坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的頂點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,焦點(diǎn)為F1,
F2,|A1B1|=
7
,
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)l是過(guò)原點(diǎn)的直線,直線n與l垂直相交于P點(diǎn),且n與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),|OP|=1,求
AP
PB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•重慶三模)光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射.已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出;如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與雙曲線C′:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
有公共焦點(diǎn),現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā),在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射,則光線經(jīng)過(guò)2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案