Question

如圖，ABCD是長(zhǎng)方形海域，其中AB=10海里，AD=10

2

海里．現(xiàn)有一架飛機(jī)在該海域失事，兩艘海事搜救船在A處同時(shí)出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且∠PAQ=

π

4

（其中P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域?yàn)槠矫嫠倪呅蜛PCQ圍成的海平面．設(shè)∠PAB=θ，搜索區(qū)域的面積為S． 
（1）試建立S與tanθ的關(guān)系式，并指出tanθ的取值范圍；
（2）求S的最大值，并指出此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）先分別求得△APB和△ADQ的面積，進(jìn)而根據(jù)作差表示出S并根據(jù)圖象求得tanθ的取值范圍．
（2）利用基本不等式求得S的最小值，并求得取得等號(hào)時(shí)tanθ的值．

解答： 解：（1）在Rt△APB中，BP=10tanθ，S△ABP=

1

2

×10×10tanθ=50tanθ
在Rt△ADQ中，DQ=10

2

tan(

π

4

-θ)，S△ADQ=

1

2

×10

2

×10

2

tan(

π

4

-θ)=100tan(

π

4

-θ)
∴S=100

2

-50tanθ-100tan(

π

4

-θ)=100

2

-50tanθ-100×

1-tanθ

1+tanθ

，
其中

0≤tanθ≤1 0≤tan( π 4 -θ)≤ 2 2

，解得：3-2

2

≤tanθ≤1
∴S=100

2

-50tanθ-100×

1-tanθ

1+tanθ

，3-2

2

≤tanθ≤1．
（2）∵tanθ＞0，S=100

2

-50(tanθ+2×

1-tanθ

1+tanθ

)=100

2

-50(tanθ+1+

4

tanθ+1

-3)≤100

2

-50(2

(tanθ+1)• 4 tanθ+1

-3)=100

2

-50，
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ+1=

4

tanθ+1

時(shí)取等號(hào)，亦即tanθ=1時(shí)，Smax=100

2

-50
∵θ∈(0，

π

2

)，
∴θ=

π

4

答：當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，S有最大值100

2

-50．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形實(shí)際應(yīng)用的問題，利用基本不等式求最值．注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查．