【題目】已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先求導數(shù),再討論導函數(shù)零點,最后根據(jù)區(qū)間導函數(shù)符號確定單調(diào)性,
(2)結合函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理分類討論零點個數(shù),即得結果
解(1)
(。時,當
時,
;當
時,
,
所以f(x)在單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增;
(ⅱ)時
若,則
,所以f(x)在
單調(diào)遞增;
若,則
,故當
時,
,
,
;所以f(x)在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;
若,則
,故當
,
,
,
;所以f(x)在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;
綜上:時,f(x)在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增;
時,f(x)在
單調(diào)遞增;
時,f(x)在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;
時,f(x)在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;
(2)(ⅰ)當a>0,則由(1)知f(x)在單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
又,
,取b滿足
,且
,
則,所以f(x)有兩個零點
(ⅱ)當a=0,則,所以f(x)只有一個零點
(ⅲ)當a<0,若,則由(1)知,f(x)在
單調(diào)遞增.又當
時,
,故f(x)不存在兩個零點
,則由(1)知,f(x)在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,又當
,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點
綜上,a的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則下列判斷中是真命題的有( ).
①,
;②
是偶函數(shù);③對于任意一個非零有理數(shù)
,
,
;④存在三個點
,
,
,使得
為等邊三角形.
A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中常數(shù)
.
(1)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
(2)設定義在上的函數(shù)
在點
處的切線方程為
.當
時,若
在
內(nèi)恒成立,則稱
為函數(shù)
的“類對稱點”.當
時,
是否存在“類對稱點”?若存在,請求出一個“類對稱點”的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個質(zhì)點在第一象限運動,第一秒鐘內(nèi)它由原點移動到,而后它接著按圖所示在與
軸、
軸平行的方向運動,且每秒移動一個單位長度,那么2018秒后,這個質(zhì)點所處的位置的坐標是________.
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【題目】已知點、
為雙曲線
的左、右焦點,過
作垂直于
軸的直線,在
軸上方交雙曲線
于點
,且
,圓
的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點
作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為
、
,求
的值;
(3)過圓上任意一點
作圓
的切線
交雙曲線
于
、
兩點,
中點為
,求證:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設計的,那么在兩個判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,
? B.
是奇數(shù)?,
?
C. 是偶數(shù)?,
? D.
是奇數(shù)?,
?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間
上的最大值是
,最小值是
,則
( )
A.與有關,且與
有關B.與
有關,但與
無關
C.與無關,且與
無關D.與
無關,但與
有關
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