Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x，其中a為常數(shù)．
（1）若當x=1時，f（x）取得極值，求a的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1，問是否存在實數(shù)a，使得當a∈（0，1]時，g（x）有最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出f（x）的定義域，再求導f′（x）=2

1

x

-ax-3，從而可得f′（1）=2-a-3=0，從而求a，代入根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意，g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1可化為g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x的定義域為（0，+∞）；
f′（x）=

2

x

-ax-3，
令f′（1）=2-a-3=0，
解得a=-1；
故f（x）=2lnx+

1

2

x²-3x，
f′（x）=

2

x

+x-3=

(x-1)(x-2)

x

；
故當0＜x＜1或x＞2時，f′（x）＞0；
當1＜x＜2時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（2）由題意，g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1可化為
g（x）+x（

2

x

-ax-3）=-3x²+ax+1，
g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1；
∵a∈（0，1]，
∴a-3＜0，且g（x）圖象的對稱軸x=-

a+3

a-3

＞0；
故g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1在（0，+∞）上在對稱軸處有最大值，
故a的取值范圍為（0，1]．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．