Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），M為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足

OP

=2

OM

，點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．已知在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=

π

3

與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，
（1）求曲線C₁與C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P滿足的條件代入曲線C₁的方程即可求出曲線C₂的方程；
（2）根據(jù)（1）將求出曲線C₁的極坐標(biāo)方程，分別求出射線θ=

π

3

與C₁的交點(diǎn)A的極徑為ρ₁，以及射線θ=

π

3

與C₂的交點(diǎn)B的極徑為ρ₂，最后根據(jù)|AB|=|ρ₂-ρ₁|求出所求．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則由條件知道M（

x

2

，

y

2

），
由于M點(diǎn)在C₁上，所以

x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα

即  

x=4cosα y=4+4sinα

，
從而C₂的參數(shù)方程為

x=4cosα y=4+4sinα

（α為參數(shù)），
所以曲線C₁與C₂的直角坐標(biāo)方程分別為x²+（y-2）²=4，x²+（y-4）²=16；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ；曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ．
射線θ=

π

3

與C₁的交點(diǎn)A的極徑為ρ₁=4sin

π

3

，
射線θ=

π

3

與C₂的交點(diǎn)B的極徑為ρ₂=8sin

π

3

．
所以|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及軌跡方程的求解和線段的度量，屬于中檔題．