Question

已知函數f（x）=-2sinx•cosx+2cos²x+1．
（1）設方程f（x）-1=0在（0，π）內有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位使所得函數的圖象關于點（0，2）對稱，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為cos（2x+）+2，由f（x）-1=0求得cos（2x+）=-，再根據x∈（0，π），求得x₁和x₂的值，即可求得x₁+x₂的值．
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，根據y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，求得mm=+，k∈Z，從而求得m的最小值．
解答：解：（1）由題設f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2，…（2分）
∵f（x）-1=0，∴cos（2x+）+1=0，…（3分）
∴cos（2x+）=-．…（4分）
由2x+=2kπ+π或2x+=2kπ+π，k∈Z，求得x=kπ+或x=kπ+．…（5分）
∵x∈（0，π），∴x₁=，x₂=，∴x₁+x₂=π．…（6分）
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，則g（x）=cos（2x++2m）+2，…（8分）
∵y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，
∴2m+=kπ+，k∈Z．…（10分）
∴2m=kπ+，k∈Z．
∴m=+，k∈Z．…（11分）
∵m＞0，
∴k=0時，m取得最小值．…（12分）
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，余弦函數的對稱性，屬于基礎題．