Question

已知

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x)，f(x)=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先根據(jù)向量數(shù)量積運算表示出函數(shù)f（x），再由二倍角公式和兩角和與差的公式化簡
（1）根據(jù)T=

2π

w

可求得最小正周期．
（2）先根據(jù)x的范圍求得2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域可得到此函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，函數(shù)f（x）取到最大值2+1=3
當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，函數(shù)f（x）取到最小值2×（-

1

2

）+1=0
∴f（x）的值域為[0，3]．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的二倍角公式、兩角和與差的公式的應用，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)--最小正周期和值域．三角函數(shù)與向量的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，一定要多加練習．