Question

已知為拋物線C：上一點(diǎn)

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)且，求證:直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若過原點(diǎn)O向直線AB作垂線，求垂足P（x,y）的軌跡方程。

Answer 1

已知為拋物線C：上一點(diǎn)

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)且，求證:直線AB恒過定點(diǎn)N，并求出定點(diǎn)N坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若過原點(diǎn)O向直線AB作垂線，求垂足P（x,y）的軌跡方程。

解：（1）    當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l:y=kx+m,聯(lián)立得，依題意有，則

即=0

，化簡(jiǎn)得，故,此時(shí)直線l:y=kx-4k=(x-4)k, 恒過點(diǎn)N（4,0）

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l:x=t,可解得t=4,故直線恒過定點(diǎn)N（4,0）  

注：本題也可以先由，解得，再結(jié)合韋達(dá)定理求出定點(diǎn)坐標(biāo)，同樣給分；

(3)P點(diǎn)在以O(shè)N為直徑的圓周上（除去原點(diǎn)），故點(diǎn)P的軌跡方程為：