(1)求證:f()=-f(x)(x∈R+);
(2)若x>1時(shí),恒有f(x)<0,求證:f(x)必有反函數(shù);
(3)設(shè)f(x)的反函數(shù)是f-1(x),求證:f-1(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意的x1、x2恒有f-1 (x1+x2)=f-1(x1)·f-1(x2).
證明:(1)對(duì)任意的x、y∈R+,
f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,
令x=y=1,得f(1)=2f(1),可得f(1)=0.
而f(x)+f()=f(x·
)=f(1),
即f(x)+f()=0.
由此可得f()=-f(x).
(2)任取x1、x2∈R+,且x1<x2,則>1.
∵x>1時(shí),f(x)<0恒成立,可知f()<0.
又f()=f(x2·
)=f(x2)+f(
)=f(x2)-f(x1),
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2).
由此可知f(x)是R+上的減函數(shù),故f(x)必有反函數(shù).
(3)設(shè)f-1(x1)=u1,f-1(x2)=u2,
則x1=f(u1),x2=f(u2).
∵f(u1·u2)=f(u1)+f(u2)=x1+x2,
∴f-1(x1+x2)=f-1[f(u1·u2)]
=u1·u2=f-1(x1)·f-1(x2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
a•2x-1 | 2x+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
-2x+a | 2x+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
2x-b | 2x+a |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:四川省內(nèi)江市2009屆高三第一次模擬考試、數(shù)學(xué)(理) 題型:044
已知a∈R,函數(shù)f(x)=aex是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),f-1(x)是它的反函數(shù).
(1)求曲線y=f(x)和y=f-1(x)的斜率為1的切線方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P,Q分別是兩曲線y=f(x),y=f-1(x)上的任意一點(diǎn),求|PQ|上的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)A、B分別是兩曲線y=f(x),y=f-1(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),且|AB|是分別在兩條曲線上的點(diǎn)連成線段長(zhǎng)的最小值,求不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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