Question

（2009•寧波模擬）一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示（其中M，N分別是AF、BC的中點）
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求二面角A-CF-B的余弦值；
（3）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析：由三視圖知，該多面體是低面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF
（1）連接BE，CE，通過證明MN是△BEC的中位線，得出MN∥CE后，即可證明MN∥平面CDEF；
（2）作BQ⊥CF于Q，連接AQ，可以證明∠AQB為所求二面角的平面角，在RT△ABQ中求解即可．
（3）將多面體A-CDEF的體積分割成2倍的A-CEF，再等體積轉化為2V_C-AEF計算．

解答：解：由三視圖知，該多面體是低面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4

2

，∠CBF=

π

2

（1）證明：連接BE，易知BE通過點M，連接CE．
由于EM=BM．CN=BN
所以MN是△BEC的中位線
所以MN∥CE，
又MN?CDEF，CE?面CDEF 所以MN∥平面CDEF；（4分）
（2）作BQ⊥CF于Q，連接AQ
由已知，易知面BFC⊥面ABFE，
又面ABFE∩面BFC=BF，AB?面ABFE，AB⊥BF
根據平面和平面垂直的性質定理得出
AB⊥面BCF，由于CF?面BCF 所以AB⊥CF，結合BQ⊥CF，AB∩BQ=B
得出CF⊥面ABQ，AQ?面ABQ所以AQ⊥CF，
故∠AQB為所求二面角的平面角．        （6分）
在RT△ABQ中tan∠AQB=

AB

BQ

=

4

2 2

=

2

⇒cos∠AQB=

3

3

故所求二面角的余弦值為

3

3

（9分）
（3）棱錐A-CDEF的體積V=2×V_A-CEF=2×VC-AEF=2×

1

3

SABF•BC=

64

3

．（14分）

點評：本題考查了直線和平面、平面和平面垂直的判定與性質，空間幾何體的體積計算．考查空間想象、推理論證能力，充分體現了證明與計算中轉化的思想方法．