已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1(2+an)=2an(n∈N*),
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記Tn=a1a2+a2a3+…+an-1an(n≥2),試判斷Tn與2的大小,并說明理由.
解:(Ⅰ)由a
n+1(2+a
n)=2a
n(n∈N
*),得

,
∵a
1=1,∴

=

,

=

,

=

. …(3分)
又由

得

=

+

,即

-

=

,
∴{

}是以1為首項(xiàng),

為公差的等差數(shù)列,
∴

=1+

(n-1)=

,∴

. …(7分)
(Ⅱ)T
n<2. 證明如下:…(8分)
當(dāng)n≥2時(shí),a
n-1a
n=

•

=4(

),…(10分)
∴T
n=4[(

)+(

)+…+(

)]=4(

)=2-

<2…(15分)
分析:(Ⅰ)由a
n+1(2+a
n)=2a
n(n∈N
*),得

,代入計(jì)算可求a
2,a
3,a
4的值,確定{

}是以1為首項(xiàng),

為公差的等差數(shù)列,可得數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)確定數(shù)列的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)法求和,可判斷T
n與2的大。
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列的證明,考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,屬于中檔題.