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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一點,PE⊥EC.已知PD=
2
,CD=2,AE=
1
2
,

(Ⅰ)異面直線PD與EC的距離;
(Ⅱ)二面角E-PC-D的大�。�
分析:(Ⅰ)先尋找異面直線PD與EC的公垂線,由三垂直線定理的逆定理知EC⊥DE,從而DE是異面直線PD與EC的公垂線,最后根據△DAE∽△CED,求出DE,從而求出異面直線PD與EC的距離;
(Ⅱ)過E作EG⊥CD交CD于G,作GH⊥PC交PC于H,連接EH.根據二面角平面角的定義可知∠EHG為二面角的平面角,在直角三角形EHG中求出此角即可得到二面角E-PC-D的大�。�
解答:解:(Ⅰ)因PD⊥底面AD,故PD⊥DE,又因EC⊥PE,
且DE是PE在面ABCD內的射影,由三垂直線定理的逆定理知
EC⊥DE,因此DE是異面直線PD與EC的公垂線.
設DE=x,因△DAE∽△CED,故x:
1
2
=2:x.
從而DE=1,即異面直線PD與EC的距離為1.
(Ⅱ)過E作EG⊥CD交CD于G,作GH⊥PC交PC于H,連接EH.因PD⊥底面AD,
故PD⊥EG,從而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC,且GH是EH在面PDC內的射影,精英家教網
由三垂線定理知EH⊥PC.
因此∠EHG為二面角的平面角.
在面PDC中,PD=
2
,CD=2,GC=2-
1
2
=
3
2
,
因△PDC∽△GHC,故GH=PD•
CG
PC
=
3
2
,
EG=
DE2-DG2
=
12-(
1
2
)
2
=
3
2

故在Rt△EHG中,GH=EG,因此∠EHG=
π
4
,
即二面角E-PC-D的大小為
π
4
點評:本題主要考查了異面直線的距離的度量,以及二面角的度量,同時考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目:高中數學 來源: 題型:

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚敐澶婄闁挎繂鎲涢幘缁樼厱闁靛牆鎳庨顓㈡煛鐏炶鈧繂鐣烽锕€唯闁挎棁濮ら惁搴♀攽閻愬樊鍤熷┑顔炬暬閹虫繃銈i崘銊у幋闂佺懓顕崑娑氱不閻樼粯鈷戠紒瀣皡閺€缁樸亜閵娿儲顥㈡鐐茬墦婵℃瓕顦柛瀣崌濡啫鈽夊▎蹇旀畼闁诲氦顫夊ú鏍ь嚕閸洖绠為柕濞垮労濞撳鎮归崶顏勭处濠㈣娲熷缁樻媴閾忕懓绗℃繛鎾寸椤ㄥ﹤鐣烽弶搴撴婵ê褰夌粭澶娾攽閻愭潙鐏﹂懣銈嗕繆閹绘帞澧涚紒缁樼洴瀹曞崬螣閸濆嫷娼旀俊鐐€曠换鎺楀窗閺嵮屾綎缂備焦蓱婵挳鏌ら幁鎺戝姢闁靛棗锕娲閳哄啰肖缂備胶濮甸幑鍥偘椤旇法鐤€婵炴垶鐟﹀▍銏ゆ⒑鐠恒劌娅愰柟鍑ゆ嫹 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆戠矆閸愨斂浜滈柡鍥ф濞层倝鎮″鈧弻鐔告綇妤e啯顎嶉梺绋款儐閸旀瑩寮诲☉妯锋瀻闊浄绲炬晥闂備浇顕栭崰妤呮偡瑜忓Σ鎰板箻鐎涙ê顎撻梺鍛婄箓鐎氱兘鍩€椤掆偓閻倿寮诲☉銏犖╅柕澹啰鍘介柣搴㈩問閸犳牠鈥﹂柨瀣╃箚闁归棿绀侀悡娑㈡煕鐏炲墽鐓紒銊ょ矙濮婄粯鎷呴崨闈涚秺瀵敻顢楅崒婊呯厯闂佺鎻€靛矂寮崒鐐寸叆闁绘洖鍊圭€氾拷