Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設數(shù)列b_n=a_n-n+1，且{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，求證：

1

4

≤T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,綜合法,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)公式a_n=S_n-S_n-1，（n≥2），化簡得：當n≥2時，a_n-a_n-1=4，判斷出等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的通項公式求解．
（2）運用裂項方法求出C_n=

1

bnbn+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），得出T_n=

1

3

（1-

1

3n+1

）根據(jù)關于n的單調遞增函數(shù)，求解出范圍即可證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
∴當n≥2時，S_n=na_n-2n（n-1）①，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2）②．
∴①-②得：S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4n+4，
即當n≥2時，a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，d=4
即a_n=4n-3，
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4n-3
（2）∵數(shù)列b_n=a_n-n+1，
∴b_n=4n-3-n+1=3n-2，b_n+1=3n+1
∵設C_n=

1

bnbn+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

）=

1

3

（1-

1

3n+1

）
∵T_n=

1

3

（1-

1

3n+1

）是關于n的單調遞增函數(shù)
T_n＜

1

3

當n=1時，T₁=

1

3

（1-

1

4

）=

1

4

，
∴

1

4

≤T_n＜

1

3

點評：本題綜合考查了數(shù)列的概念，性質，函數(shù)的單調性的運用，裂項求數(shù)列的和等思想方法．